La cardinalidad de conjuntos
Objetivo.
Utilizar la formula de la teoria de los conjuntos para aplicarla en situaciones comunes.
Introduccion.
en el ámbito del Álgebra de Conjuntos, se conoce con el nombre de Cardinal al número total de elementos que puede contarse dentro de un conjunto, independientemente que la cantidad pueda ser considerada como finita o infinita. Con respecto a la notación de este atributo de los conjuntos, la norma admite varias formas, de esta manera, dado un conjunto determinado, en este caso el Conjunto A, se consideran igualmente válido anotar n(A), card (A), # (A) aunque la forma de uso más extendido es │A│.
Desarrollo.
La cardinalidad de un conjunto se representa con el símbolo ( n ) y corresponde al número de elementos que tiene el conjunto.
Una gran cantidad y variedad de problemas actuales que incluyen conjuntos de personas, tales como encuestas, requieren de un análisis de información conocida acerca de determinados subconjuntos para obtener cardinalidades de otros subconjuntos.
Ejemplo. Un grupo de jóvenes de bachillerato, que realiza un proyecto estadístico de investigación, necesita aplicar una encuesta a estudiantes universitarios que cursen otros idiomas. Para tal fin, acuden a una escuela de idiomas y eligen al azar una muestra de 120 alumnos. Le preguntan a cada uno, que idioma estudia. 90 responden que inglés, 40 manifiestan que francés y 20 contestan que ni estudian inglés ni tampoco francés, sino otro idioma.
Tal vez pienses ¿Cómo es posible esto? ¡Sólo son 120 alumnos encuestados y ya he contado 150! Es una reacción, hasta cierto punto natural; sin embargo, la realidad es la siguiente: De los alumnos encuestados hay algunos que estudian inglés y también francés, el siguiente diagrama de Venn-Euler permite mostrar y aclarar esta información:
Para ello se tienen que definir los siguientes conjuntos:
U: Todos los alumnos encuestados.
I: Alumnos entrevistados que estudian inglés.
F: Alumnos entrevistados que estudian francés.
Analizando la información cuidadosamente, se deduce que si 20 de los estudiantes encuestados, no estudian inglés ni francés, entonces significa que de los 120 estudiantes entrevistados, 100 estudian al menos uno de estos dos idiomas; por lo tanto, si 130 contestan que estudian estos idiomas, se concluye por lógica que, 30 deben estar estudiando ambos idiomas. De lo anterior, se puede distribuir en un diagrama de Venn-Euler las cantidades correspondientes a cada región o sección:
Desde esta nueva perspectiva se puede responder a preguntas como las siguientes:
a) ¿Cuántos alumnos entrevistados sólo estudian inglés? Respuesta: 60
b) ¿Cuántos estudiantes entrevistados sólo estudian francés? Respuesta 10
c) ¿Cuántos alumnos entrevistados sólo estudian uno de estos dos idiomas? Respuesta 70
En general, para dos conjuntos A y B, la fórmula para obtener la cardinalidad de su unión es:
n(A ∪B) = n(A)+ n(B)−n(A ∩B)
Actividad.
Resuelve lo que se te pide.
Se sabe que, de los 85 alumnos del sexto curso, a 20 les gusta la Biología, a 50 las Matemáticas y a 15 les gustan ambas asignaturas. a) ¿A cuántos alumnos les gusta al menos una de esas asignaturas? b) ¿A cuántos les gusta solamente la biología? c) ¿A cuántos les gusta exactamente una de esas dos? d) ¿A cuántos alumnos no les gustan ninguna de esas asignaturas?